１７についてのGeminiの回答とル・リヨネのそれとの比較

　知らないうちに世の中、AIに訊いてみよう、が当たり前になってしまった。

先日、難波誠の『群と幾何学』をぼんやりと読み流していたら、17について記述があった。平面を埋めるため対称性を規定する群の数は「17」であると。

　さて、GoogleのGeminiは17について、どれほど知識があるのだろうか？

下のプロンプトを使ってみた。

「あなたは専門の数学者です。あなたは数字としての17についてわかっている数学的な特徴をすべて箇条書きにしてください。」

と尋ねてみた。

素数である: 17は1とその数自身以外に正の約数を持たない素数です。
フェルマー素数である:

$cap F sub n equals 2 raised to the exponent open paren 2 to the n-th power close paren end-exponent plus 1$

の形で表される素数をフェルマー素数と呼びます。17は

$n equals 2$

の場合のフェルマー数

$cap F sub 2 equals 2 raised to the exponent open paren 2 squared close paren end-exponent plus 1 equals 2 to the fourth power plus 1 equals 17$

であり、素数です。知られているフェルマー素数は3, 5, 17, 257, 65537の5つのみです。
正十七角形の作図可能性: カール・フリードリヒ・ガウスは19歳の時、正

$n$

角形が定規とコンパスのみで作図可能であるための必要十分条件を証明しました。

$n$

が相異なるフェルマー素数の積（または2の累乗との積）である場合、作図可能です。17はフェルマー素数であるため、正十七角形は定規とコンパスで作図できます。ガウスはこの発見を非常に重視し、墓石に正十七角形を彫るよう遺言したと言われています。
ウィルソンの定理: 17は素数であるため、ウィルソンの定理を満たします。(17-1)! + 1 は 17 で割り切れます。すなわち、16!

$triple bar negative 1 space open paren mod 17 close paren$

が成り立ちます。
中心つき八角数: 17は中心つき八角数（Centered octagonal number）です。これは

$1 plus 8 cross n open paren n minus 1 close paren / 2$

の形で表される数で、

$n equals 2$

のとき

$1 plus 8 cross 1 equals 9$

、

$n equals 3$

のとき

$1 plus 8 cross 3 equals 25$

などとなります。17自体はこれに該当しません。
幸運数（ハッピー数）: 17はハッピー数（Happy number）です。各桁の2乗の和を計算し、結果が1になるまで繰り返すプロセスで1に到達する数を指しますと循環するため、17はハッピー数ではありません。情報の確認が必要です）。
エッシャーの作品と群論: 平面上の図形を隙間なく並べる（敷き詰める）パターンには17種類の壁紙群（平面群）が存在することが知られています。オランダの画家M.C.エッシャーの作品には、これらの17種類の群のうち多くのものが含まれています。