円周等分多項式の係数の異常値みたいなもののまとめ計算

　久々に興味がわく事象に遭遇したのでそれを書き記してみます。

　数学が観察による帰納法から定理を導出するものでないのは重々ご承知のことであろう。その有名な例に円周等分多項式の係数がある。

　次式で定義される。

自然数ｎ（2から10）を与えて順次計算してみると

となり、係数は１か０，-1になっている。つまり、２は含まれていないようだ。

ではあるが、n=105で反例が出現する。

よく見ると-2が2個出現している。

　では、ｎが1000までにどんな感じで出現するのだろうか？

以下に｛n, 2以上の係数｝で示す。

{105, -2, -2},

{165, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{195, -2, -2},

{210, 2, 2},

{255, 2, 2},

{273, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{285, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{315, -2, -2}, {330, 2, -2, -2, 2, -2, -2, 2, -2, -2, 2},

{345, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{357, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{385, -2, -2, 2, 2, 2, -2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -3, -3, -3, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, -2, 2, 2, 2, -2, -2},

{390, -2, -2}, {420, 2, 2},

{429, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{455, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2}, {495, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{510, -2, -2}, {525, -2, -2},

{546, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2},

{555, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{561, 2, 2},

{570, -2, 2, 2, -2, -2, 2, -2, 2, -2, -2, 2, -2, 2, -2, -2, 2, 2, -2},

{585, -2, -2},

{595, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2},

{609, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{615, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{627, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2}, {630, 2, 2},

{645, -2, -2, -2, -2, -2, -2}, {660, 2, -2, -2, 2, -2, -2, 2, -2, -2, 2},

{665, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 3, 3, 2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 3, 3, 2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2,
2, 3, 3, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 3, 3, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 3, 3, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2},

{690, 2, -2, 2, 2, -2, 2}, {705, 2, 2, 2, 2, 2, 2}, {714, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, 2},

{715, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, -2, -2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2}, {735, -2, -2},

{759, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{765, 2, 2},

{770, 2, -2, -2, 2, -2, -2, -2, 2, -2, 2, 2, 2, -2, 2, -2, 2, 2, -2, 3, -3, 3, -2, 2, 2, -2, 2, -2, 2, 2, 2, -2, 2, -2, -2, -2, 2, -2, -2, 2},

{777, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{780, -2, -2}, {795, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{805, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2},

{819, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{825, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}, {840, 2, 2},

{855, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{858, 2, -2, -2, 2, 2, -2, -2, 2},

{897, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2,
-2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{910, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, 2, 2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2},

{935, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -3, -3, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -3, -3, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}, {945, -2, -2},

{957, 2, 2, 2, 2, 2, 2},

{969, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{975, -2, -2},

{987, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2},

{990, 2, -2, -2, 2, -2, -2, 2, -2, -2, 2}}

　58個の多項式で係数に２以上が現れていることが判明した。

385で係数に３が出てきたので、0,1,２以外にもあり得る見通しとなる。

665とか935のケースの係数リストはなんかヤバイ。

ｎ=10000まででは1627個の多項式に2以上が出現しているのが分かった。

では、次に出現するのは４だろうか、それとも５であろうか？

誰か計算してみてください！

　もう一つ、面白い事象として円周等分多項式の単純和がこうなる。

{0, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, 23, 1, 5, 1, 3, 1, 29, 1, 31, 2, 1, 1, 1, 1, 37, 1, 1, 1, 41, 1, 43, 1, 1, 1, 47, 1, 7, 1, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1, 59, 1, 61, 1, 1, 2, 1, 1, 67, 1, 1, 1, 71, 1, 73, 1, 1, 1, 1, 1, 79, 1, 3, 1, 83, 1, 1, 1, 1, 1, 89, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 97, 1, 1, 1, 101, 1, 103, 1, 1}

　つまり、１もしくは素数になるのだ。単調増大ではないことに注意しよう。
これはx=1を代入した結果といってもいいことから、証明できそうだ。

　読者よ、挑戦されてみては？

【9/1追記】

　urupapa さんのコメントに刺激されて、2以上の整数（絶対値）が出現するnを求めてみた。　以下のリストが {n:最初にkが出る自然数，k}であります

{105, 2}, {385, 3}, {1365, 4}, {1785, 5}, {2805, 6}, {3135, 7}, {6545, 8}, {6545, 9}

　最後の6545に８と９が同時発生しているようだ。

下がそのリストの散布図です。なんとなく二系列ありそうな。