和算の秀才 和田寧の「異円」とは

　下平和夫の和算史で和田寧の業績を紹介している。関孝和の弟子、松永良弼の系列に安島直円がおり、彼は共通接線を利用して円を内外接させる「類円術」を開発した。
その弟子が和田寧（1787-1840）だ。播州三日月藩士であった。多重積分法を完成、定積分表を公刊したのが最大の業績という。
　
　和田の見つけた変な曲線が「異円」だ。長方形に内接した楕円を考える。
その楕円から生成されるのだ。下図を見てほしい。

長方形（高さ２ｂ、幅２ａ）に内接する楕円と底辺を共有し、頂点が楕円のｙ軸上にある二等辺三角形（ピンク）を考える。
ｙ軸上の点Ｏからｘ軸に平行な線を考え、その長方形との交わりをＴ、楕円との交わりをＱとする。
二等辺三角形との交点はＳとし、ＯＳ：ＯＰ＝ＯＴ：ＯＱを満たす点「P」の軌跡を求めよ。
y軸上でＯがｂから−ｂまで動けば、和田寧の「異円」となる。

この形状は解析幾何学の標準的書籍では見かけない。
よって、和田寧の「玉ねぎ」といってもいいだろう。

この異円の式は上記の長方形（高さ２ｂ、幅２ａ）とその内接楕円からこうだ。

　念の為に、楕円や長方形との関係を示しておく（ａ＝２、ｂ＝１のケース）

はて、面積はどうなるのだろう。

【参考資料】

日本人の数学 和算 (講談社学術文庫)