21世紀まで現存していた最高の数学者の一人コンウェイは、オイラー定数について「最大の謎」と指摘していました。超越数であることに賭けてはいるが、その証明はとても難しいだろうとコンウェイ＆ガイは書き残してます。
現時点でもその件に関してはなにも進展していないでしょう。
自分も幾度か堂々巡り計算をしていますが、今回もう一周周回してみました。
先ずは、次式から確認ください。
右辺は下のグラフの色付き図形に対応します。
この式のn⇒∞がオイラー定数となります。
この右辺は偶数部と奇数部に分解できます。
それぞれをこう置きます。
今回、計算すると下の極限値が出せました。
なぜ厳密解が出せたか？ 調和級数部分が打ち消しあうからですね。
いずれにせよ円周率の対数が出てくるのはイイですよね。
解析幾何的な意味は上のグラフの色付き部分が交代級数で打ち消しあっていく。その残渣面積は0.241564というわけです。
この定数の難しさは連続的な処理である対数（1/xの積分）と離散量である調和級数が混和されるからなんでしょうね～
それぞれの数値はn=100000でこのくらいの数値です。
Ao＝0.4093888200880949911904046989999....
Ae＝0.1678254698156045412441959523845....
足せばオイラー定数の0.5772156649015328606065...には十分に近い。
さて、今ひとつ数値的に興味深い事実があります！
Ae/Ao＝0.409940380388034081327589412...
これはAoの値にかなり近いです。差異は0.0005505程度です。
一致してたら、満塁ホームランだったでしょうね。
自分的には非常に惜しいファウルでした。
【参考文献】
この件はハヴィルの本には載っていないと思います。
