自然数ではコラッツの予想なるものがあるようだ。
x/2 x:even
3x+1 x:odd
これを任意の自然数ｘについて反復すると必ず「１」になるというのが、その予想。
今のところ反例はないそうであります。また、その証明に誰も成功してはいないようだ。
ガウス整数でコラッツもどきを試してみよう。
試行錯誤の結果、こんなモドキ規則で計算をすることにした。
1+i､iはガウス素数である（2はガウス素数ではない）停止条件はｚの絶対値が１となるとき（単数になるとき）とする。この停止条件はやや恣意的であるかも。
ガウス整数を入れてやると、どんな振る舞いをするだろうか？
「7+15i」で反復してみようか。
具体的には
7 + 15I, 11 + 4I, 11 + 5I, 8 - 3I, 8 - 2I, 3 - 5I, -1 -4I, -1 - 3I, -2 -I, -2, -1 +I, I<<
「-4 + 2i」
要するに1,-1,-i,iのどれかには落ち着くのではないかと推測されるのであります。
（モドキ規則を洗練させれば１に出来るのかもしれない）
「1,-1,-i,i」はガウス整数で単数とされる。単位元の拡張版だ。この４つにガウス整数が落ち着くならば、コラッツ的な振る舞いと類似であるとしていいであろう。実数部と虚数部が５以下ではこうなる。
１５以下ではなるようになる。
時計回りの渦巻き状になるが、モドキ規則で1+iを1-iにすると逆になるであろう。
さらに範囲拡大したもの。
1,-1,-i,iのどれかには落ち着く感じは濃厚でありますな。
かくて神秘なるボルテックスが出現したのであります。
何回の反復で単数になるかを見ておくれと注文があった。
縦軸横軸はガウス平面で、その格子点がガウス整数。高さは単数になるまでの「反復回数」である。
高さを色付けしてみる。赤系がたかい回数。プラマイ２５×２５の範囲までひろげて同じ計算をスムージングかける。色付けをつけてみた。
