わざわざ分数を連分数に直すのは、無駄というものであろう。
だからこそ、試してみるのであります。
最初に手をつけるのは、お馴染みの調和級数であります。
Hn＝1+1/2+1/3+1/4+.......1/n
これを連分数にしてみようか。
H1＝{1}
H2＝{1, 2}
H3＝{1, 1, 5}
：
H7＝{2, 1, 1, 2, 5, 5}
：
H10＝{2, 1, 13, 12, 1, 3, 1, 2}
：
H100＝{5, 5, 2, 1, 31, 4, 1, 7, 2, 4, 1, 2, 16, 1, 1, 1, 31, 5, 2, 121, 3, 10, 10, 1, 2, 6, 1, 9, 67, 1, 2, 1, 19, 1, 3, 2, 6, 2, 12, 1, 1, 10, 1, 1, 3, 18, 2, 1, 1, 9, 2, 6, 625, 1, 57, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 5}
ここでH3＝{1, 1, 5}＝1+1/(1+1/5) を意味している。
このままでは、ツマラナイのでHnが何個の数字の連分数になるのか？を調べることに宗旨変えしよう。
n=1から１００までで、それらの個数はこうなるとな。
{1, 2, 3, 2, 5, 4, 6, 7, 10, 8, 7, 10, 15, 9, 9, 17, 18, 11, 20, 16, 18, 18, 23, 19, 24, 25, 24, 26, 29, 21, 24, 23, 26, 25, 32, 34, 33, 26, 24, 31, 32, 31, 36, 36, 39, 32, 34, 42, 47, 44, 46, 35, 40, 48, 43, 47, 59, 50, 49, 39, 50, 66, 54, 44, 54, 49, 41, 64, 47, 46, 54, 71, 72, 60, 57, 67, 65, 54, 73, 63, 72, 66, 60, 61, 69, 69, 70, 78, 66, 79, 84, 78, 76, 79, 63, 81, 76, 81, 90, 68}
これをグラフ化する。
Sn=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....+1/n^2 に同様の処置を施したグラフがこれだ。
傾きが異なるようだ。
最小二乗法でフィットするとこうなる。
Hn＝0.588483326 + 0.800931186 n + 0.000159893736 n^2
