とある単純な予想　素数逆数和の幻想 Conjecture & Illusion on the sum of reciprocal prime number

　高等数学というほどでもない無限級数の和は１８世紀にその極限値がLog２と知られていた。自然数の逆数の交替級数だ。
　極限値は初等関数である自然対数に関係するのだ。

この数値は「0.6931471805599453094172321214581765680」である。

それならば、素数の逆数の交替級数はどうなのであろうか？

　疑いもなく有限の数値に収束する。

その値は最初の２０万項で「0.269606336565517613335730806294533985735613989966511571188399」
であるが、収束の速度は極めて遅いのだ。
　Log2との関係を疑っておいていいだろう。なぜならオイラーが調和級数でLog２との関係を預言していたからだ。また、オイラーの定数を持ち込むのも許されよう。
　自分的な予想では、上記の級数の極限値はこの式に等しくなるのではなかろうか？

EulerGammaとはご存知オイラーの定数「0.5772156649015328606065120900824024310...」だ。
　この数値の値は
「0.2697549010726668645709958897843287013952...」である。
つまり、小数点３桁目までは一致しているわけですね。可能性はあります。

その後、1000万項までの和を計算したけれど
「0.2696063491848919761324471771252940604810.....」となり、小数点７ケタ目が増えただけだ。一時間かけて計算した6000万項でも「0.2696063515516998488111851368681524368320」だ。ほとんど増加はビビたるもの。
　んだが、無限個の素数に比較すればまだまだ、なのだ。何千万項であろうが、ゼロに等しい部分和でしかない。

【参考書籍】

　この力作に再びお世話になってます。考えてみると、なんて奇妙な本なんでしょうかね。