指数関数eのx乗はx=0の近傍でのマクローリン展開するとこうなる。
つまり、
「!」は階乗の記号です。
ここでは、類似物のマクローリン展開式から構成される関数y(x)を見つけてみたい。
指数関数的にはなるだろう（後でグラフで比較してみる）
両辺をｘで微分すると微分方程式をえることができる。ガンマ関数の性質を使った。
ガンマ関数は階乗！の自然な拡張であります。
ベルヌーイ型の一階微分方程式なので、解析解が求められる。
結局の所、解の式はこうなった。案外、複雑になりますなあ。
この式ともとの級数和を重ね合わせると下のようになり、差異はないことがわかる。
おおもとの指数関数ｅ^xとの差異はどうなるだろう。
マクローリン展開は最初の8項がこうなる。
分子に２の指数がでている。
グラフで比較してみると原点付近での振る舞いが異なる。 上が指数関数で、下が今回の物件だ。
人から頼まれてx=2 π iの値を計算してみると0.831669 + 0.144838 Iと特徴がない。
ちなみにｘを 0 から８π iまで虚数上を動かしてガウス平面での動きを観測してみた。
うーん、なんだかだなあ。単位円には近づいていくようだけど。
検証はしていないが、0<α<1では、下式が成り立つのかもしれない。Γはガンマ関数で、積分は不完全ガンマ関数である。
【参考文献】
類体論の大家のエミール・アルティンの残したガンマ関数の本。初等関数以外では楕円関数とベッセル関数の専門書があり、そしてガンマ関数の本がある。ガンマ関数に魅了されている人の枕頭の書だろう。
