あまり表題の意味は深く考えないことをお勧めするとして、ここでは連分数を展開すると面白いパターンが生み出されることを報告しておきたい。
連分数は展開対象となる数の固有の性質を表している。応用範囲としてはペル方程式の解を求めるラグランジェの証明が有名だろう。有理数は有限回の展開で閉じるが、無理数は無限回になる。大学の教養課程でも連分数は扱わないようで、存在感が薄い。
しかし、インド人の数学教育では必須になっているとも聞く。特殊な超越数には規則性が出現することがまれにある。その例外の一つがネイピア数 e だろう。
WIKIにもあるようにネイピア数は下のように連分数展開できる。
この並びをリストにすれば、{2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, 1, 22, 1, 1, 24, 1, 1, 26, 1, 1, 28, 1, 1, 30, 1, 1, 32, 1, 1}
となります。さらに、数字のペアにすると
{{2, 1}, {2, 1}, {1, 4}, {1, 1}, {6, 1}, {1, 8}, {1, 1}, {10, 1}, {1,12}, {1, 1}, {14, 1}, {1, 16}, {1, 1}, {18, 1}, {1, 20}, {1,1}, {22, 1}, {1, 24}, {1, 1}, {26, 1}, {1, 28}, {1, 1}, {30, 1}, {1,32}, {1, 1}}
これを点座標とみなして、連結してみると
両軸は両対数となっています。ともあれ、折れ線グラフとなるわけです。
もっと計算をすすめると成層構造がみえてきます。
ネイピア数の二乗もあるパターンが現出します。
残念ながら三乗以上からはこの美しいパターンは消失します。
ではパターンが再出現します。
ネイピア数の立方根でも同様でした。
