完全循環素数と原始根の関連

 2,5以外の素数pの逆数、1/pの小数を計算するとすべて循環小数となります。

1/3=0.333333....
1/7=0.14285714285714285714285714285714....
1/11=0.09090909090909090909090909090909....
1/13=0.076923076923076923076923076923077...
1/17=0.058823529411764705882352941176471....
1/19=0.052631578947368421052631578947368....

この循環の長さは、p-1の約数になります。

 1/7のように7-1=6となるものを完全循環素数(レプテンド素数)と呼びます。循環する桁数がp-1となるものです。
この手の素数(レプテンド素数)は下記のような特徴があります。
 例えば7でいうと。10^k k=1,2,3,4,5,6
すなわち
{10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000}に対する7のMod、つまり剰余は
{3, 2, 6, 4, 5, 1}となる。
17では、{10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000,1000000000, 10000000000, 100000000000, 1000000000000, 10000000000000, 100000000000000, 1000000000000000, 10000000000000000}に対する17の剰余は
{10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7, 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1}

 1からp−1までがすべて現れている。これを10が素数p(この場合、7や17)の原始根だというわけですね。
言い換えると、10とそうした関係にあるpだけが完全循環素数(レプテンド素数)となるのだそうです。

 そうした面々をリストしておきましょう。

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541.......