オイラーの定数を近似する

　毒にも薬にもならないオイラーの定数γの近似の探求であります。
オイラーはγが何らかの自然数の対数になると感じていたそうです。今日にいたるまで、その証明はありません。→参考文献
　どの程度、自然数と対数の組み合わせでγに肉迫できるか、やってみました。
できるだけ単純な自然数の組み合わせでオイラーの定数を精度よく近似する、という戦略です。

ちなみにオイラの定数は３０桁でこんな値です。

0.577215664901532860606512090082

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上式の枠で考えます。ｍ、ｎは自然数です。対数の中のpは素数に限定してみます。
シンプルがベストですが、そうもいきません。数値もそれほど精度がよくない。
上が６桁、下が８桁どまりです。

９桁のものが出ました。

対数の中身を２に固定してやると１３桁精度のこんなものが出てきてます。

あるいは対数の中身をｎ／ｍとして近似を探ったのがこれです。１３桁の精度です。

　どうも１３桁程度が限界のようですね。
もっと上げるには自然数の桁数をばかでかくするしかないのでスマートではありません。

【参考文献】

オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界―