ガンマ関数のマニアがいるとしたら自分はその一人であろうと思います。
今回も暇に飽かせてガンマ関数の気ままな数値計算をしました、
手始めにｘが０から３までのふるまいをプロット。
１＜ｘ＜２ではガンマ関数の値は１未満になります。
従いまして、下記の極限値は存在します。
ただし、厳密な値の陽な表式はないようです。
0.706767781849695387081011526893830765054.......
ワイエルシュトラスの無限積表式に落とすことは可能でしょうけれど。
加えて、このような無限積を考えると、おそらくは収束するであろう。
この無限積は簡易化できます。
そして、数値計算をするとその値は1.8057996930140282243416165506694......となります。驚いたことに右辺の厳密解は調べた限りではないようです！
結果をまとめます。 
多くの人は上記のグラフでガンマ関数の極小値がx=3/2近辺にあることに注意されるでしょう。困ったことに3/2ではないのですねえ。
Γ(3/2)=0.886226925より小さくなります。
X0=1.4616321449502651135....... で 0.88560319441088870028.......という極小値になります。ｘ＞０での極小値です。
このX0もなにか近似式がないかを数学公式集Ⅲを参考に試算してみました。
これがひとまずの近似ですわ。γはお約束のオイラーの定数です。
【参考文献】
類体論の完成者であるアルティンの名著。『ガロア理論』も画期的とされてます。
文庫で入手できるのは嬉しいです。
業績の質量でいえば、日本の誇る高木貞治よりは大物だったようです。
