ガンマ関数に関するKummerの公式 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　久々に魅了された無限級数だ。何の役にも立たないけど素晴らしいとG.H.ハーディなら言うだろう。

ガンマ関数と円周率πとオイラー定数γとLog2を結びつける。

　例えば、x=1/4とするならば、謎のガンマ関数の値Γ(1/4)についての謎の級数が導出できるわけだ。

　こう書いてもΓ(1/4)の真実には近づかないどころか、神秘さが深まるばかりだ。しかし、数に魅入られし者にはそれが醍醐味なのだ。

それとΓ(1/2)についてはオイラーの時代から値はわかってることは念のために追記するほうがいいだろう。

【7/30追記】
　上式を変形するとけっこう変わり種の無限級数の和が表現できる。

　クンマーの式は下のアルティンの本の注記にあった。この本のような関数だけに捧げらし本は少ない。初等関数は別にすると楕円関数とベッセル関数、それにゼータ関数くらいだろうね。
ガンマ関数はそれほど重要というわけだ。