前回のEuler定数関数の拡張は間違ってましたので、修正します。
ｍは自然数、ｘは実数であります。
x=0以外では下式となります。
有限のｍかつ 0.1<x<1で数値計算したのが下のグラフです。
なんだか分からないかもしれないので、0.01<x<0.1でｍを1000,2000,3000の三通りで計算してみると
一番左側の線がm=3000で実軸との交点もオイラーの定数0.57721に近づくのがわかる。つまり、ｘが小さいとｍが∞になるとほぼ虚軸と平行になるような感じですね。
然るに、ｍを1000,2000,3000は同じで、0.01<x<4 で動かすと下のような軌跡となりますね。
そして、-4<x<4 で動かしてみると実軸に対して対称な曲線となります。
フーム、意外というか当然というべきなのか。
【2025年1月15日追記】
この関数を前回の有限調和級数と一緒に描いておこう！
m=10000で-2<x<2の範囲で描画したものが下のグラフ。黄土色が有限調和級数
青い線がEuler定数関数であるが、x=0.5付近に短く見えている。
もう少し拡大して描画しておきます。
Log項を差し引くだけで関数の特性が大きく変化することがわかっただけでも見つけものだろうか？
この拡大図からの仮説でありますが、黄土色の実軸との交点が二点ある。
右側の交点は無限に大きくなるのは調和級数の発散から知られている。しかし、左側の交点はどうなるのであろうか？
もっとカメラをひいてみると右側にさらに交点がある。これが調和級数の実数和に相当する点である。上図の１近辺の二点はほぼ変化していない。
やはり。その平均値にオイラー定数があるというのは難しそうだが、チェレンジし甲斐があるかもしれない！
