巨大素数として知られる大半はメルセンヌ素数である。
Ｍp＝２^p−１ ｐ素数
2013年1月25日に４年ぶりに巨大素数の記録が更新されて、４８番目でメルセンヌ素数として認定された。
ｐ＝57,885,161 でＭpは、17,425,170桁になる。この大きさ以内に、おおむね４８個しかないことになる。
今回の注目ポイントはメルセンヌ素数の２進数表現だ。メルセンヌ素数の最初の４個は、
３，７，３１，１２７
であるが、２進数表現では
１１，１１１，１１１１１，１１１１１１１
つまりは、１が周期性をもつわけである。同様な表現はないか。
ここでの問題提起はこうだ。
メルセンヌ素数以外に、１０１０１や１００１００１００１のような規則性のある素数はどの程度あるだろうか？
計算してみた。かなりの範囲を捜索したのであるが、このような素数しか見いだせないのだ。４番目はデカ過ぎて書けない。
73, 262657, 4432676798593
それぞれの２進数表現を記しておこう。
73 → 1001001
262657 → 1000000001000000001
4432676798593 → 1000000100000010000001000000100000010000001
おそろしく疎らな分布しかしていないのだ。メルセンヌ素数は例外なのだろう。
