ヘグナー数とは
-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163
の９つです。代数的整数で
を含む、いわゆる二次体というグループがあります。
その中でも因数分解が成立するのは上記の9つだけだというのが証明されている。
d=-1がガウス整数、d=-3はそれぞれ発見者に因んでアイゼンシュタイン整数と呼ばれてます。
ヘグナーは９つに限ることを証明した人です。
上記のｎに自然数を1,2,3,4,,,,,40と代入するとｋ＝41の時に素数が頻出することをオイラーが発見していますね。
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 160
実は頻出どころではなく40個すべて素数です。
下記の二次方程式の解に
が現れるのは偶然ではないです。
n=1,2,3,,,,k-1 を代入すると1-4kがヘグナー数の一つである限り素数になるという数学的な証明があるといいます。
再掲の本題はギリギリ間際の自然数なりかけの数の生み手としてのヘグナー数です。
つまり、こう！
これには気の利いた書き換えがあって、コンウェイとガイの本ではこうです。
ε（イプシロン）のことをちょっぴりと呼んでます。
さてさて、この本には門外漢にはナゾイ記載があります。
とすると
は整数になるというのであります。
実はこれらの係数はモンスター群という有限群で特別な働きがあったのを最近になって思い出しました。立て役者の一人がコンウェイだったのですねえ。
この展開式はクラインの不変モジュラ楕円関数 
にまつわる級数展開であるのを別な本から突き止めました。参考書籍『シンメトリーとモンスター』
| J関数の係数 | モンスターの次数 |
| 1 | 1 |
| 196884 | 196883 |
| 21493760 | 21296876 |
| 864299970 | 842609326 |
| 20245856256 | 18538750076 |
２項目以降は下のような法則性があります。
2項もモンスター群の次数の累積和になっています。
21493760=1+196883+21296876
