ここで考察していきたいのは下記のような反復系列であります。
四角形Z1Z2Z3Z4の各辺をα対1-αで分割する。そこで生まれる四角形Z'1Z'2Z'3Z'4とする。
新しい内点の計算は複素数での表示では次式でできるわけであります。
自分の願望はこれを繰り返したい、只々それだけであります。
αが1/3なら、
αが1/5なら、
のようになるのは期待通りのイメージであります。
ですが、一先ずここではαを複素数化したいですね。
そのためには行列表示がわかりやすい。上記の変換は下のような行列での積になります。
下記の行列のｎ回の積をすれば一般化できるわけであります。
もちろん、対角化して固有値とアイゲンベクトルを求めれば、陽な数式で表すこともできますが、すごい煩雑な漸化式になります。
それはそれとして、複素数化の妙味をひとつ。
下図はどんなαで生じるのでしょうか？
α=2/5+ i 1/5 です。
下図はα=3/7- i 1/7
ここまでは、普通の四角形での話でした。
だがしかし、正方形になると陽な形式で表現できる。z0を正方形の頂点の一つとせよ。正方形は原点を中心にするとすれば、αでの分割をk回行った時の頂点u1,u2,u3,u4は
たとえば、α=1/3で10回操作を繰り返すと「砂漠の白花」になる。
下図はα=1/7+ i 1/7 & k=60
下図はα=1/3+ i 1/6 & k=30
図形が収斂しないことに注意されたし。
だからこそ、α=3/13+ i 2/13 & k=60のようなケースも生じます。
【参考文献】
この本にも同じ操作が説明されていますね。
包括的かつ懐古的な参考書をひとつ
