円周率とレムニスケート定数並びに無限積

　円周率のウォリスの公式というのが知られている。

{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}

これお変形して次式にする。

　　　　　　

ガウスはレムニスケートの周長を計算しています。

まず、レムニスケートの極座標での式と図形を表示。

　　　　　　　　

　　　　

その周長は以下の定積分に等しい。

　　　　　　　　

ガウスが注目したのは円周の定積分との類似性でした、

　　　　　　　　

この定積分はπ/2となります。つまりは、

　　　　　

同様にして、レムニスケートの無限積を算出できます。

　　　　

無限積の中身をみるとｋ→2kに置き換えると等価ですね。

レムニスケートの無限積に下の積を掛けると円周率の無限積になります。

　　　　　　　　　　

これらの2ｋや4ｋの無限積はガンマ関数の無限積表示に等しいことがわかります。

 

 

【参考文献】

ガウスはレムニスケート積分を丹精こめて計算しまくって二重周期性や代数的構造を明らかにしています。それがアーベル＆ヤコービを経て、クンマーやクロネッカーに流れ込む

近世数学史談 (岩波文庫 青 939-1)

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