アイゼンシュタインの素数

　ガウスの整数の拡張版につづいて出現したのがアイゼンシュタインの整数環、あるいは二次体です。アイゼンシュタインはガウスの弟子でしたが早世しました。
　アイゼンシュタインの整数は「ａ＋ｂω」という形をしてます。ａ，ｂは整数で、ωがω^2＋ω＋１=０の根の一つです。
　この数体でも素因数分解の一意性は証明できていて、従って素数も定義できます。
結果だけなら、wikiで十分でしょう。

　三種類の素数があります。

１）ノルムが 3 であるもの。
　　　すなわち、±(1 - ω), ±(2 + ω), ±(1 + 2ω) の6つ。
２）ノルムが 3 n + 1 の形の素数であるもの。例えば 1 + 3ω, 2 - ω など。
３）3 n + 2 の形の有理素数と同伴であるもの。例えば 2, 2 + 2 ω など。

　このなかで２）を取り上げて可視化します。２）がデザイン性があるのですなあ。
隣接点との接触半径を計算してアイゼンシュタイン素数を中心にした円を描いた結果です。

　正六角形を描いたものがノーマルな表現ですが、円のほうが面白みがあると思います。
　円形の宴会場で大きな円が柱、小さな円が座席と考えるとその配置は建築心理的に好ましいとされる．．．なんてことが言えるといいですね〜。

　正六角形の描画例がこの本にありますね。

プライムナンバーズ ―魅惑的で楽しい素数の事典 (O’Reilly math series)