三角形にはオイラー線というものがあり、重心，外心，垂心が一直線に並ぶのをオイラーが証明した。その線上で重心は外心と垂心を２：１で分割するのだという。
そういう定理を学生時分に習って、自ら証明しようとして挫折した記憶がある。
今回も証明は避けて、どんな線分になるかを可視化してみた。
三角形には3辺の中点、3頂点から対辺に下ろした垂線の足、垂心と3頂点の中点の九つの点を通る、円がソンザイする。それを九点円というのだそうだ。
恐れ入ったことにその中心もオイラー線上に乗っかっているのだ。
かくして、4点（重心，外心，垂心、九点円の中心）は赤いオイラー線に仲良く並んでいることになる。
三角形を変形させていくとオイラー線と４つの中心はどう移り変わるだろうか？
たいして 面白くもないけれど、 このような連続イメージとなる。
解析的な表示も与えておこう。デカルト座標でオイラー線の式を出すわけ。
簡単のために底辺の左側頂点を原点にして、三角形を下のように配置しよう。
三角形の座標を上記でセットする。あまり一般的ではないが、任意の三角形に拡張はできるだろう。
オイラー線の方程式はこうなる。
