群論（抽象代数）の勉強をしているとき、ある証明の一部で次式が使われているのが気になったので計算してみました。
ｎ以下の自然数組み合わせでゼロ以外の差分のすべての積と言い表されるのです。
ｎが15まででの計算結果であります。
1, -1, -4, 144, 82944, -1194393600, -619173642240000,
15728001190723584000000,
25569049282962188245401600000000,
-3366980847587422591723894776791040000000000, -44337041641882947649156022595410930014617600000000000000,
70644466189487478446912388560048283730567049640935424000000000000000000,
16208845251000821622190076715739318824148060256189805890882701885440000000000000000000000,
-628510747884849356700486999978479718899810497204517220842656353283785940314724761600000000000000000000000000,
-4776715910453078252125191941240832362471533046759381658535987154992208518051459399373338552307810304000000000000000000000000000000
急速に大きくなるのと正負が交代するのです。
見通しをつけるために絶対値を扱います。また、積をi>jとする。つまり、平方根をとりましょう。
n=15まではこうなります。
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000,
1834933472251084800000, 6658606584104736522240000000,
265790267296391946810949632000000000,
127313963299399416749559771247411200000000000,
792786697595796795607377086400871488552960000000000000,
69113789582492712943486800506462734562847413501952000000000000000,
よくみればn+1項はｎ項で割り切れます。なので前項で割り算してみる。
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, .......
これはｋ！となっています。
よって、次式が成立するようです。案外シンプルな式ですね。
次段階は、もちろん下式の計算になります。
Piはi番目の素数です。
ていうか、これは辞めて、ファレイ数列で計算してみます。なぜなら、オンライン数列事典で答えがでるからです（実は自然数の差分積もあとで調べたら記載されてました）
