三角形とその辺上の３円の性質 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　鋭角三角形について面白い性質を見出したのでレポートしておくとしよう。

下記の鋭角三角形を考える。

　それぞれの辺の中点を中心とする、その辺を直径とする円を描いてみよう。ここでは底辺と右側の辺について、円を描いた。

　見出した性質とは、円の交点が左側の辺の上にあることである。これは他の二辺の組み合わせでも成立する（下図）。

　解析的に証明もできる。

　まず、三円の交点の座標を算出しておこう。
三角形の頂点の座標をそれぞれ(X1,Y1) (X2,Y2) (X3,Y3)とした場合の３個の交点を以下に示す。

なかなかに見難い多項式である。(X3,Y3)を原点(0,0)にしても一般性は失わない。上の交点はこうなる。

　これらの点が三辺上にあることは、初等数学で検算できる。
例えば、次の座標は(X1,Y1) (X2,Y2)の線上にある。

その解析的な結果の例を示しておこう。

　今のところ、この結果は幾何学の本のような類書には記載を見つけていない。オリジナルだと主張したいところだが、三角形の性質は探求しつくされているから、どんなものやら。

　言い忘れた。
鈍角三角形の場合は辺上に交点ができない。
この場合でも、辺の延長線上に交点があることは見て取れる。上記の経数ｔがマイナスとなるのだ。

　辺上の三点を結べば、下図のような赤い三角形が生じる。だが、もとの三角形との関係はまだ、見つけていない。

【参考文献】

　久々に再読して刺激になった。円と三角形の関係については基本が押さえてある。