ファレイ数列は数学マニアにとっては宝剣のようなものです。
五番目のファレイ数列は {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1} となります。
生成ロジックはシンプルなので、説明はWikiにお任せします。
そこはかとない疑問から始まります。
F1 {0, 1},
F2 {0, 1/2, 1},
F3 {0, 1/3, 1/2, 2/3, 1},
F4 {0, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1},
F5 {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1},
F6 {0, 1 6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1}}
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まずは、各ファレイ数列の「和」はどうなるかですね。
１，3/2、5/2.......となるのですが、１００個ほど計算してみましょう。
1, 3/2, 5/2, 7/2, 11/2, 13/2, 19/2, 23/2, 29/2, 33/2, 43/2, 47/2, 59/2, 65/2, 73/2, 81/2, 97/2, 103/2, 121/2, 129/2, 141/2, 151/2, 173/2, 181/2, 201/2, 213/2, 231/2, 243/2, 271/2, 279/2, 309/2, 325/2, 345/2, 361/2, 385/2, 397/2, 433/2, 451/2, 475/2, 491/2, 531/2, 543/2, 585/2, 605/2, 629/2, 651/2, 697/2, 713/2, 755/2, 775/2, 807/2, 831/2, 883/2, 901/2, 941/2, 965/2, 1001/2, 1029/2, 1087/2, 1103/2, 1163/2, 1193/2, 1229/2, 1261/2, 1309/2, 1329/2, 1395/2, 1427/2, 1471/2, 1495/2, 1565/2, 1589/2, 1661/2, 1697/2, 1737/2, 1773/2, 1833/2, 1857/2, 1935/2, 1967/2, 2021/2, 2061/2, 2143/2, 2167/2, 2231/2, 2273/2, 2329/2, 2369/2, 2457/2, 2481/2, 2553/2, 2597/2, 2657/2, 2703/2, 2775/2, 2807/2, 2903/2, 2945/2, 3005/2, 3045/2
分母に必ず２が含まれます。これはファレイ数列の中央に1/2が鎮座するためです。
この1/2を差し引いてあげます。
1/2, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 16, 21, 23, 29, 32, 36, 40, 48, 51, 60, 64, 70, 75, 86, 90, 100, 106, 115, 121, 135, 139, 154, 162, 172, 180, 192, 198, 216, 225, 237, 245, 265, 271, 292, 302, 314, 325, 348, 356, 377, 387, 403, 415, 441, 450, 470, 482, 500, 514, 543, 551, 581, 596, 614, 630, 654, 664, 697, 713, 735, 747, 782, 794, 830, 848, 868, 886, 916, 928, 967, 983, 1010, 1030, 1071, 1083, 1115, 1136, 1164, 1184, 1228, 1240, 1276, 1298, 1328, 1351, 1387, 1403, 1451, 1472, 1502, 1522
初項以外すべて自然数の数列なりました。でも規則性はない感じですね。
こんな時に役立つのが「オンライン整数列大辞典（ OEIS ）」です。
ありました、A046657です。
これは下記の条件での解を満たす自然数の対の解の数ですね。互いに素です。
a (n) = | {(x, y) : 1 <= x <= y <= n, x + y <= n, 1 = gcd (x, y)} |
というわけで、二元不定方程式の自然数解の数というものに結び付きました！
それでは「積」の法です。
ここではFi-Fjのあらゆる組み合わせの積です。ただし、Fi＞Fjを計算してます。
始めの７個は急速に小さくなることを示してます。
1,
1/4,
1/8748,
25/165112971264,
290521/738112500000000000000000000000000000,
42556274049289/1011996092471618764800000000000000000000000000000000000000
7341956759473131405504025185769/30440975978603554534254467870664854945064933587922618095130724988256690539057180909232421875000000000000000000000000000000000000000000,
これでは見通しが悪いですね。
分母子を素因数分解しましょう。初めの８個までを示します。
うーん！不思議な感じな結果です。
これに規則性があるのでしょうか？
この本を紐解きました。けっこうお高い本でございます。
