素数階乗素数はPrimoidal Primeという立派な名前までついでいる。
その発想はユークリッドが素数が無限に存在する証明からきている。
つまり、最大の素数Pmaxが存在すると次の数がすべての素数で割り切れない。
1☓２☓３☓５☓．．☓Pmax+1
よって、最大の素数という前提が間違いだったと判断する証明だ。
素数階乗素数は、上の式で出現する素数のことだ。連続する素数だけの積を素数階乗と定義している。
こんなものになるとSloanのOEIS（A018239）は報告している。
2, 3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131, 171962010545840643348334056831754301958457563589574256043877110505832165523856261308397965147955578800999455782202456522
８番目は154桁になる。急激に増えてしまうので、素数判定が難しい。
増加傾向を減らしつつ、素数をなるたけ多く輩出するような変形はないであろうか？
そこで提起したのは、変形した俄作りの素数生成式であります。
連続する奇素数について１を引いて２で割ったものの積に１を足すという規則だ。
生成される数列に関して最初の15項を算出しておこう。
2, 3, 7, 31, 181, 1441, 12961, 142561, 1995841, 29937601, 538876801, 10777536001, 226328256001, 5205549888001
わりと緩やか（アダージョ）だ。
では、肝心の素数はどうであろうか？
2, 3, 7, 31, 181, 1995841, 29937601, 538876801, 10777536001,
最初の15個のうち９個が素数だ。かなりいい調子であるが、次の素数はトンでいる。
135344297088001, 42162490522309034578821120000001,
9607879382175307440053681288647960166400000001
と続く。最後の12番目は46桁である。
面白いのは末尾が１になり、０が多数連続していることだ。
ただし、つぎの13個目はデカイ。427桁だ。
5058530498908466574480038170804770147522626898482916572594214143355873957868418683912816315286683092885401035565536078072609928895968293960328267463213223366932108837079095903287399434528328474370221665760433179397255944149754980215140364335743782210087133631654384088947096087488319208632724833769619545289295298563165416795756220088739553394262854524287188995288334336000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
それでも、素数階乗素数よりは控え目な大きさであるので、有望な新人でありそうだ。
【参考文献】
素数でいつもながらお世話になるのが、この本だ。もう新刊としては入手できなかな。
