おそろしく古い『行列及び行列式』という本に辺の長さだけで四面体の体積を計算する式があった。
このように6個の辺の長さが与えられているとしよう。
そうすると下式で体積Vを計算できるというのだ。右辺は4☓4の行列式だ。
これだけでも面白い。しかしながら、もう少々計算しやすくはならないだろうか?
と考えたのがケチのつけ始めでありまして、時間をかけたけれど前進はしなかったのであります。
要は四面体版のヘロンの公式みたいにしたかったのだが、中途半端だったわけです。誰か引き継いでくれるかもしれないので、ささやかな結果だけを示しておきます。
右辺の行列式の展開結果は次式でありまして、
22項もある。いくら、これを眺めても手の出しようがないわけであります。
気がついたのは、上の四面体でa とd、 bと e、 cと f が離れたペアの辺であることを注意する。すると上式において特殊な関係にあることがわかり。
変形の結果、こうなります。
これで、少しは見通しがつきます。
最後の4項は四面体の4つ面を構成する3辺の自乗でできてます。
あとはヘロンと同じくSを導入する。
かくて、到達した式であります。
7項目にむりやりまとめわけで、もとの4☓4の行列式のほうが美しいという意見もあります。
もっと簡明になりませんですかね。
【参考文献】
出版年は1961年だけれども、ほとんど戦前の学者の本。昭和の中頃の高等数学では線形代数は影が薄かったですね。今日では受験数学や機械学習の必須アイテムだろうけど。