かなり昔に自然数の算術平均と相乗平均の比、つまり、次のような計算をした。
nが無限大になるとどうなるか? 極限値があるのだろうか?
数学好きなら筆をとって、すぐさま計算するだろう。
eの半分になる。nが20万で数値計算して、比較のため2倍すると2.7181999825274837743595497378.......となり。自然対数の底に近づいている。
(eをネイピア数と呼ぶほうがいいのかもしれない。自然対数の底なんて覚えにくい)
もちろん、カウント伯爵(セサミストリートのキャラ)の同好の人ならば、素数でトライしたいと思うであろう。
よって、数値計算してみた。
素数の相加平均と相乗平均の比であります。ここで、n番目の素数をPnとする 。
もちろん、自然数と異なり簡易化するような方策はないだろう。地道に計算機を酷使するしかない。
収束速度はかなりトロい。200万までの素数での数値を示しておこう。
1.4115536887622072902
小数点三桁目までしか確定していない。オイラー・ゴンペルツ定数(1.410686...)になってくれると嬉しいのだが、まあ、無理なお願いであろう。
収束するだけでも見っけもんだ。