自然数の算術平均と相乗平均の比と素数の類似物

 かなり昔に自然数の算術平均と相乗平均の比、つまり、次のような計算をした。

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 nが無限大になるとどうなるか? 極限値があるのだろうか?

数学好きなら筆をとって、すぐさま計算するだろう。

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 eの半分になる。nが20万で数値計算して、比較のため2倍すると2.7181999825274837743595497378.......となり。自然対数の底に近づいている。

(eをネイピア数と呼ぶほうがいいのかもしれない。自然対数の底なんて覚えにくい)

 

 もちろん、カウント伯爵セサミストリートのキャラ)の同好の人ならば、素数でトライしたいと思うであろう。

 よって、数値計算してみた。

 

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 素数の相加平均と相乗平均の比であります。ここで、n番目の素数をPnとする 。

 もちろん、自然数と異なり簡易化するような方策はないだろう。地道に計算機を酷使するしかない。

 収束速度はかなりトロい。200万までの素数での数値を示しておこう。

         1.4115536887622072902

 小数点三桁目までしか確定していない。オイラー・ゴンペルツ定数(1.410686...)になってくれると嬉しいのだが、まあ、無理なお願いであろう。

 収束するだけでも見っけもんだ。