三角形の座標三点が与えられ、その頂点を通る楕円の式を導出しておきます。
中心を原点とし、その原点まわりに回転した楕円とすれば、それは可能です。また、三角形は原点を囲むとしておきましょう。
ａ，ｂ，ｃが未知数ですが、(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)という三つの頂点を通るので、三つの方程式を作れます。
それを解いたらどうなるかを例示しておきます。
良いこの受験生の皆さんは、式を出すなんて真似をしないでください。時間のムダですよ。
三点が原点を囲まないケースではａ、ｂが虚数になると思われます(放物線や双曲線になります)
さて、このままでもいいのですが、三角形の重心＝原点としてみます。楕円の中心に一致させるわけです。
三角形の重心座標＝０を使い(x3,y3)を消去してみましょう。
上式で計算してみた、ひとつの例です。
そして、楕円の面積を提示しておきます。なんかの役に立つかもしれないですので。
すごくシンプルになりましたね。
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)から形成される三角形の面積を割ると、一定になります。
つまり、楕円と三角形の面積の比は楕円の中心＝三角形の重心には、一定でほぼ4割になるです。
うむ、これは語るに足る美しさだと思いますね。きっとアフィン変換か何かを利用するとよりスマートな証明が可能なのでしょうね。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
注記： スモークマンさんからのコメントから、気がついた修正点がありました。内容を改正しておきます。どうやら、図形の中心を共有してないと面積比は一定にはならないようです。
図形の中心共有を前提としない一般式で検算したのですが、グチャグチャな式でした。
