平行四辺形に内接する楕円の三種 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　「平行四辺形に内接する楕円」のミスを修正することを兼ねて、補足をおこないます。

　与えれた平行四辺形に内接し、原点を中心とする楕円は、どうやら（少なくとも）三種類あるようでございます。
その平行四辺形は高さｈ、幅は２ｎとしておきます。
　両脇を傾きｍの直線で囲みます。
　混乱しないようにｍ，ｎ，ｈは正としておきます。

１）x軸、y軸に平行な楕円

この楕円の方程式はこうなります。

面積をだしておきます。

２）傾いた楕円
これには二種類あります。

２−１）平行四辺形の長い対角線に寄り添う楕円

楕円の式はｘｙの係数が負になります。

面積はこうです。

シンプルさから、平行四辺形に内接する楕円の正統派だと考えられます。

２−２）平行四辺形の短い対角線に寄り添う楕円

　楕円の式です。ｘ二乗の分母が不安定さを象徴していますよね。
この分母は負やゼロになりかねない。負になると双曲線に変じてしまいます。

面積は次式です。

　これらの結果を導出する手順についてメモしておきます。数理的には難しいことはないのですが、条件式がやたら多いのでゴチャゴチャするので、方針がないと混乱しやすいです。

・平行四辺形の両脚における判別式＝０を左右２つ用意する
・（ｘ、ｙ）での楕円の式 x^2/a^2 + y^2/b^2 + 2 c x y = 1とする
・接線の条件式　ｍとｍｎ　を左右で２つ用意する
・上底と下底における　接戦傾き＝０、切片＝ ± h/2 と楕円の式から交点座標を消去

　これらから、２−１）と２−２）を導出できます。

楕円２−１）と２−２）を同時に描画することも可能です。
楕円１）は描けません（正確には双曲線に退化しています）

　こうなると共通部分の面積の最大値なんかが、気になりだします。まことに悪い癖であります。
これは、きっと理系大学生のいい練習問題にはなりますね。

　最後のおまけは充填率です。
　平行四辺形の中でどの楕円が一番、でかい面積になるかという素朴な疑問です。これを出せるから解析幾何はエライのです。

２−１）楕円＞１）楕円＞２−２楕円

　
　ｍ→無限大としても意味があるのは２−１）と１）の楕円の方程式です。
　また、ｍ→無限大で、平行四辺形は長方形になります。上記の面積は２−１）と１）が一致します。

　充填率＝楕円面積÷平行四辺形面積を式で示しておきます。
２−１）は常に一定になります。常識的な１）の楕円よりも格が上のようですね。スゴイ！

　２−１）楕円＞１）楕円＞２−２楕円　の順です。

　本日の教訓：平行四辺形に内接する原点を中心にする楕円の正嫡子は２−１）である