オイラーの定数をめぐって

　オイラーの定数γは謎に満ちた定数と多くの数学者は考えている。円周率πや自然対数の底ｅ（もっと簡単な言い方ないのカナ）は、かなりいろいろなことが分かっている。
けれどもオイラーの定数は重要な定数（πやeに次いで重要）であるにもカカワラズ本質的なことは何も判明していない。
　超越性はもちろん、無理数かどうかも分かっていない。かのエルデシュも１０００ドル賭けていたくらいだ。
　発見者はレオンハルト・オイラーだ。調和級数を調べる過程で、極めて面白い近似、もしくは収束性を発見したのだ。

　調和級数は、ご存知の自然数の逆数の和である。

これはｎ→∞で、発散する。しかるに、log(n)を引いた極限値が収束するのだ。

それが、オイラーの定数が史上始めて人類の前に出現した姿だった。
大ガウスもこの数に興味を引かれたとみえ、４０桁も計算している（きわめて収束の遅いこの数を４０桁もだ！！）

この数は例えば、史上最大の謎という評判のゼータ関数とこんな感じで結合する（厳密な式ではない）

Zeta(1)は漸近的にオイラー定数とｎ＝∞対数と等しいのだ。
もちろん、調和級数の定義を書き換えただけだ。

Log2になるライプニッツの和になるというのがある
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6-1/7+1/8.......

これとオイラー定数を組み合わせるとこんな面白い式が出せる。

【補足】ゼータ関数との関係
「EulerによるEuler定数のイントロ」

【ご参考】
　もっともっと驚くべき関係式はこちらの一般向け数学読み物に登場するので、ワクワクしてほしい。

オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界―

　数学の定数としてのγのポジションについてはこの本が世界で唯一の成書。数理パスファインダーの座右の書といえる。

数学定数事典

　オイラーの生涯については薄い伝記の翻訳がある。生涯は比較的単調だが数学・物理の業績は計り知れない。

オイラー―その生涯と業績