始めの１０個はこんな感じです。３と５から開始します。
{3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109}
無限個あるかどうかは証明されてはいませんが、きっとあるのでしょう。有名な業績はBrunの定理と定数でしょうか。
もとはといえば、この定数に刺激されて下記の極限Ａを計算してみたくなったのがキッカケです。PrimeTnはｎ番目の双子素数を示します。
今回も禁じ手を使います。統計的な近似です。非線形回帰みたいな邪道ですわ。
手始めにHardy＆Wrightの本にのってような近似式がどの程度再現できるかを試行しました。いわゆるπ(n)を推算します。つまり、ｎが与えられたときにそこまでに何個（対）の双子素数があるかですね。
ｎ＝10000までに双子素数は1270個あります。その範囲で近似式を出しましょう。
こんな近似式になります。どの程度のフィットネスかというと下図をご覧あれ！
まあまあというところでしょう。
本当は、πの逆関数が欲しいのです。つまり、ｎ番目の双子素数の大凡の数値です。
試算によれば、４４１６個の双子素数の極限Ａは5.3128442718315289276でした。
これが収束する保証はありません（Brunの定数とは違って証明出来ない）
【追記】
n番目の双子素数の値を見積りましょう。最初の１２００個を示すと下のようになります。
ふたたび、禁じ手の非線形フィッティングを適用すると
B式 
ここでｘはｘ番目という意味。
これがどのくらい当てはまるかを重ね合わせます。
B式が全般的傾向を近似しているとすると極限Ａについて、「発散する」という推論ができます。
この3/2乗なる分母からなる無限積は発散するからです。
【参考資料】
Hardy＆Wrightにはもっと厳密な導出が示されてます。しかも初歩的に。
