任意の三角形で下記のような３個の円を考える。
図から明らかなように、それぞれの円の半径は辺の長さから決まる。つまり、三角形が与えられれば一意的に円とその半径が決まります。
さて、いつものことながら、余計な想像をする。三角形は平面にあり、その頂点に球を３個配置するとしよう。
その３個の球に外接する球はどうなるのだろうか？
３つの青い球に外接する球を描画してみよう。最初に外接球の半径Rが欲しい！
デカルト氏はこんなこともあろうかとデカルトの定理を残しておいてくれた。
a, b, c,が既知の球の半径だとせよ、Rについて解けば、それが答えであります。注意スべきは解が２つあること。
小さい方は３球の内側にできると思えばいい。大きさほうが求める外接球の半径だ。
さて、問題なのは外接球の原点座標だ。二次方程式は３つあるのだが、これを座標で導出すると人手にあまることになる。
たとえば、そのｘ座標uはこんな感じ。
ｚ座標のwはここには狭くて書ききれない。だから、シンプルな問題なのに受験問題にはならない宿命なのだ。
かなり巨大な球が出現する。ついでに上がわの外接球と同時に描画しておこう。
上下の球はXY平面に対して対称である。また、3頂点の球を含むような外接球ではなかったわけだ。
今回も労多くして功少なし、の有閑人の計算だったが、ここで気になったのは、外接球の大きさは最小値もしくは最大値を持つのであろうか、との疑問だ。三角形の形状でどのように外接球の半径が変化するかということだ。
どなたか回答を試みられよ。
