円錐の4次元形状を感じようとする試みです。もちろん、普通の人が、直接、形状を感じるわけにはいかないので、断面で分解して3次元空間に投影してやります。
その前に、3次元空間の円錐(cone)とその裁断面を確認しておきます。
z軸のhなる高さに頂点がある円錐(底面の半径R)は、
となり、その本体(表面を含む全体)の式は不等式になります。
断面の例を可視化しましょう。z軸のpを通り、y=0&z=0でx=Rを通る平面を選択するとしましょう。
といわけで、この両者(円錐と平面)を同時に描けば、断面は楕円になるというのが
見える化できます。
平面をz軸方向でこのままの傾きで上下させれば、楕円は大きなっ足り小さくなったりします。
同じことを4次元の円錐で確かめるのです。
はじめに、4次元円錐を決めます。x,y,z軸に加えてw軸を考え、w軸のhなる場所に円錐の頂点を置きます。こんなイメージでしょう。四次元目の頂点から、三次元の球にまんべんなく球が移動していく、というのがこの四次元円錐です。
四次元円錐体の式を書き下します。頂点h、w=0での三次元球の半径Rとなるとしてます。
三次元コーンの拡張になっているわけです。
4次元平面を適切に選べば、その超平面が4次元円錐を切断した立体を見ることができます。
現れたのは、鉛筆キャップのような形状です。楕円体の半分なのでしょう。
この形状は、wの制約を満たしていません。0<w<hを満たすという条件をつけると
縦に二分割されてしまいます。
z軸上に頂点(高さh)を持つ4次元円錐でも同様な切断ができ、その形状は小さいけれど完全な楕円体になるのが観察されます。
z軸のhを通る超平面が平行移動するときの断面が形成する動画です。これで四次元円錐体の存在を感じますか?
安直でありますが、この世の中にある楕円体は、実は4次元空間での立体の切断面なのかもと想像できる。
また、3次元切断では楕円、4次元切断では楕円体というのは、そういうものなのでしょうね。
今後、超立法体の超平面による裁断面(裁断立体というべきか)の計算も開示予定です。
例の、4次元球でのレーヴの葉層構造なんてのは、手に余るでしょうけど。今回の手法は高校数学並みで分かりやすいけど普通には計算しずらいし、可視化しにくいですよね。そんなのをビジュアルにしてみたいです。