メルセンヌ素数が素数であると時のｐの性質メモ

　メルセンヌ素数の最大値が先ごろ更新された。2013年1月25日のことである。前回が2008年8月23日であるから、実に5年弱ぶりだ。
　随分と時間が経過したものだ。最大素数の更新の停滞は、現代文明の計算機能力が伸び悩んでいる証拠だとどこかで書いた（昨年かな）。
　ここでは別の話題。
　メルセンヌ素数は　2^p-1　のかたちをしている。ｐ自体も素数である。
このｐについて調べてみた。

　2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281,3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787．．．

　これは４４番目までのメルセンヌ素数が成立するｐの列である（2^p-1が素数となるｐの列である）
　これらを２進数で表示してみよう。

　規則性を見いだせたら、君は素数界の勝者になれるだろう。
実は６進表示で面白い傾向がある。（だが、これは当たり前だという指摘がある御仁よりあった。読者よ、それを見極めよ）

お分かりだろうか？
　６の剰余類（Mod）をとれば見えやすい。

　ほとんどのｐが末尾は１か５どちらかになるのだ。
また、k番目のメルセンヌ素数のｐをp(k)として、
Log[ (p(k+1)-p(k))/p(k+1)]を
プロットする。

　これらの関係に何かがあるような気がしてくる。
こんな景観が見えたりはしないだろうか？

あるいは、何番目の素数になっているかを探ることで何かを掘り出すかもしれない。
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 18, 24, 28, 31, 98, 111, 207, 328, 339, 455, 583, 602, 1196, 1226, 1357, 2254, 2435, 2591, 4624, 8384, 10489, 12331, 19292, 60745, 68301, 97017

【参考】世界的な素数研究者の快著。

素数の世界―その探索と発見