いつものように数学的厳密性を度外視して軽やかに数式と戯れることにします。
αを定数として等比級数の和を考えます。
以下同様にして、
と収束性の判定を無視して連綿と続けられる。
具体的なSの値はこのようになります。
ここらで変なことになっている。
なにも考えずに反復すれば、下記のように繰り返しが生じるわけです。
これは無論、和の収束条件を無視したために起きた不具合であります。
しかし、αがある条件内であればS1あたりまでなら、意味のある数値となります。
その検討はすっ飛ばします。もっと等比級数和の拡張版をみてみたい。
次の系列を考えます。
そして、上の例とおなじようにして反復系列での和を考えます。
順番にαが-1と1の範囲での数値tをグラフにしましょう。pは0,1,2,3の４種類です。
ｔ0からです。わかりやすい。αが１で発散する。
ｔ1ではこうなる。αが０と0.5以上で発散するところがあります。
ｔ2ではこうなる。
初項のpが大きくなるとαが0.5以上で和が発散するような特異点（pole）が増えてくるというのは興味深いですわ。
以上、中途半端ですが無限等比級数の和の反復的悪夢でした。
