昨夜の続きをオイラーの式で - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　級数展開でどのように収束するかをオイラーの式に適用してみた。

これは−１となる。それを昨夜のごとく、ガウス平面で追跡してみるだけであります。
　新規性はないが教育的ではありましょう。

上式を級数展開に書き下す。

　以下、これをn=1から順次、和を計算してやり、−１への道行きをガウス平面上にプロットするだけであります。

　n=15までの軌跡を示しておく。

　意外といえば意外にも直角に曲がりながら「−１」に急速に接近する。これは各項が虚数のk乗となっているので当たり前といえば当たり前であります。

　上図の点列の連結線の長さの総和は収束する。
　なので、数理マニアとしてはその和がどうなるかを計算してみると良いであろう。これもシンプルな数値になるであろう。

　こちらのケースも図示しておこないと手落ちとなろう。大回りしながら「１」に激しく収束します。

級数展開でいうと下式であります。

　ある意味、このケースのほうがダイナミックであります。これも経路の長さの和は単純な数式で表せますね。

　参考書としては今はこのロングセラーを上げておこう。