今度は、誰でも考えつきそうで、まだ、未見の図形問題を考えてみよう。未見といっても、Webで類似情報を見つけようと数回ググって発見できなかった程度なので、悪しからず。数学の問題集などにはあるか知れず。
問題はこうだ。
正方形のなかに内接して交差する二つの同じ楕円を描くとしよう（下図）
同じ楕円とは大きさと偏心率eが同じということ。長径と短径がお互いに等しいといってもいい。
この楕円を対角線上に配して内接させて、さらにクロスで配置する（下図）
この重なり部分の面積を求めるのが今回の課題であります。正方形の辺と偏心率を所与とします。
どうですか〜、ありそうで、ないでしょ？
中学校の数学で正方形と四分円のケースで類似の受験問題はありますがね。
正方形の辺の長さ＝１としても一般性は喪われてないでしょう。
簡単のために下図のように４５度回転させた正方形で考えても良いでしょう。
原点を基準とする楕円の方程式を置く。
簡単な連立方程式から、aとbはeの関数として求まるわけですな。
この値を入れ替えるともう片方の楕円の式になる。
例えばe=17/18での状態は下図となる。
2-e^2という因子はなんか中途半端な感じだが、どうしようもない。
さて、重なり部分の面積の表式である。
う〜む、なんだかなあ〜。どういうわけかあまり美しくない。ちなみに、ArcCscは逆余接である。
根号の中身を因数分解できるなど、検算中であるけれど一応書き込みしておく。
