完全循環素数（FullReptendPrime）の逆数の二進法表示

　完全循環素数とはその逆数の小数点表示において、循環する桁数がp-1となるものです。
　1/7のように7-1=6となるものを完全循環素数（レプテンド素数）と呼びます。
1/7=0.14285714285714285714285714285714....

大昔のブログにおいてその一例を提示してます。

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, 1019．．．

　これを二進法表示で示してみます。

　さてこれからです。
　これらの二進法での小数点展開はどうなるのか？

　例えば、1/7の二進法展開は{1, 0, 0, 1, 0, 0,...}となる。3桁「1,0,0」の繰り返しである。
　1/17は{1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,．．．．}である。
8桁「1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0」の繰り返しだ。
　1/19は{1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1...}
　　どうやら「1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0」らしい。
よって18桁である。
　つまり、１０進法時代の完全循環素数ではなくなっているものがあるのだ。

ここで質問だ。

　何故に、こうしたことがおきるのだろうか？
また、いかなるｎ進表示でも完全循環素数であるような素数はあるのだろうか？
　

数の本