この特殊な定積分を愛好する人がときおり、います。
その理由はn=2になると分かろうというものです。
n=2になるとこんな美しさを発揮する。左辺の対称性と右辺がπとその近似分数になるからだ。
ところがn=1だと様子が違う。
n=3でもだ。Log2が現れるのです。
結論からいうとｎが偶数の時には円周率を含む数値になります。
ｎをずんずん大きするとどうなるだろうか？ n=2,4,6,8....16までの定積分の値の列です。
系列１）
これらの列がずんずん正の側から「ゼロ」に近づいていゆくのは、このようなグラフからも推察されるでしょう。
一番上の曲線がn=1で、そのはるか下にはn=2があり、n=3は小さすぎて見えない。
この青色の面積を求める定積分なのですから、しごく当たり前であります。
言い換えると、系列１）は円周率の近似分数を求める系列になっているわけであります。
円周率の係数を１にして、見やすくします。ｎは２，４，６，．．．１６まで変化させます。
分数は円周率の近似になっているわけです。上からの近似分数を与えていますね。
これは小数点表示でこうなります。かなりいい精度ですね。
残念ながら、ラグランジェの定理より、同じ大きさの分母の連分数近似には負けます。
系列２）πの連分数の近似系列
誤差の比較グラフです。円周率との差分を対数で表示。線で結んであるのが、系列１）の誤差
系列２）は点だけです。系列１）のほうがづんづん小さくなっているようですが、これは分母が
どでかくなっているためです。
