ガンマ関数の極限値など - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　ガンマ関数は、高等数学の入り口で始めて出会う、イケメンの関数です。
笑笑！
　こういう形をしています。

これはｚ=ｎ+1として、ｎが自然数であれば、ｎ！（階乗）になります。

　この後、意表をつく展開が待ってます。ｎはなんでも（非整数でも分数でも実数でも、複素数でも）計算できちゃう！　階乗が自然に拡張されたわけです。

これをつかえば、

などが導出されてしまいます。

ガンマ関数の−５＜ｘ＜５での振る舞いはこんなグラフになります。xがゼロでは急速に発散してゆくのが見て取れます。負数でも負の整数で発散しまいます。
ゼロの近辺の挙動はあとで極限の式を示します。

　それどころか、謎の多いオイラーの定数とこんな関係を結んでます。

　ガンマ関数の一階微分で、ｘ＝１での値です。
いったい、これはどんな不可思議を語ろうとしているのでしょう？　意味はなんなのでしょうか？　仮にピタゴラス学派が言うように神が数学するとしたら、ナンのメッセージなのでしょうか？

　最近、見つけた極限値（深い結果でも新規な結果でもないけど、自分で計算できたので載っけます）を紹介しましょう。
この式は負の領域での極限の振る舞いを教えてくれます。

もう一つは、０付近でのガンマ関数の振る舞いです。オイラーの定数が出てきます！
ウヒョーな結果ではありますね。

　こちら、類体論で有名な数学者アルティンの手腕が分かるガンマ関数入門書です。