四次元立方体とそれ以上の次元の超立体

　SFファンならずとも四次元空間を理解してみたいとは一瞬でも思ったことはないだろうか？
例えば、アンリ・ポアンカレやヘルムホルツといった科学者の大人物たちは、それが可能ではないかと言っている。
　そんな能力に恵まれない三次元空間にお住まいの一般市民でも、その勝手知ったる三次元に投影したりすればだいぶ理解しやすくはなる。
　よい例が四次元立方体だ。
その見本を示しておく。

五次元立方体の投影となると理解はもはや諦めてもいいだろう。

　これらのタネ明かしをするとハイパーキューブ類がグラフ理論で識別されているのだ。そのアルゴリズムを利用すれば専門的なツールがなくとも作画できるだろう。

　５次元までの立方体の点、線、面、．．の数は下表のようになる。

　実はn次元の立方体の点、線、面、．．の数は簡単なルールで生成できる。下式のｎが次元数とせよ。

例えば、n=4であればこうなるようだ。

n=5でも示しておく。

上の表と比較すれば、各係数が点、線、面．．．の数に対応するのがわかる。

このルールを知っていれば、次の現象の説明はできるだろう。
　点−線＋面ー立体＋．．．という交互の和が「１」になるのだ。
正方形では４−４＋１＝１
立方体では８−１２＋６−１＝１
つまり、オイラーの多面体定理　V-E+F=2　のn次元超立方体の系みたいなものだ。

　おまけは、９次元の超立方体の投影図だわさ。
　この超立方体の９次元版はいってみれば、512個の頂点と2304本の線分と4608の面などから構成されているわけである。

追記：：：いくつの体や超体などがあるかは下式の係数から了解せられよ。

グラフ理論入門 基本とアルゴリズム

グラフ理論の魅惑の世界- 巡回セールスマン問題、四色問題、中国人郵便配達問題・・・