この定積分は微積分ファンならずともすぐに計算できることと思う。
答えは「１」だ。それを図示したのが下図である。
上の線は√xの曲線、下の線はx^2の線である。
青い領域がｙ＜x^2となる部分で面積は「1/3」、真ん中の紡錘形の面積が1/3である。残りの面積は「1/3」
錯覚というのは紡錘形の面積が最小に見えることだ。一種の正方形の等面積分割であることも感興の由来か。
さらに、n>0なら下式がいつも成立するのも不思議な感がある。
ひとつ宿題を提出しておく。n=2の場合である。
上記の対角線で分割された紡錘形のそれぞれの面積はどうなるであろうか？
それから下式の意味合いはお分かりであろうか？
描画したグラフはこうだ。0と1の区間の面積はπ/4となるのだ。円とはだいぶ形状が異なる。でも、単位円の1/4の面積で始点と終点が一致するのは注目するべきかも。
