円周率の無限積による表示の件 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　円周率の無限積による表示というとWallisの式が有名だ。ここは、こんなタイプの表示ができないかを探ってみた。

　無限積の関係で有名な公式、ガンマ関数のものを利用する。

するとちょっとした変形でこうなるのがわかる。

なかの数列は具体的には１未満の分数列になるのが見て取れる。分子は分母より１少ない。

つまりは、下式が導出できた。ややはじめのイメージとズレもあるけど答えにはなっている。調べてみたら、同じものがWallisの式から導けるようだ。

GWに入る際の頭の体操でありました。
その過程で『数学定数事典』でレオンハルト・オイラーがもっと面白い、くだらないから超ほど遠い無限積を出していたのを知った。これが本日の収穫だった。

Primeは２を除く全素数を動くのだ。収束は遅そうだが数理の玄妙さが感じられる表現であります。
このような分数列が生まれ、その積はやがてπに近づくのだ。
収束は悪く、下の２０項までの数値計算結果は「3.1190474674」で、３．１４までの道は遠い。

老子も玄の玄なり、と共感するのではないだろうか。あるいはゲンナリなのかもしれない。
オイラーはゼータ関数の理論から導いたのだそうだ。まったく凄いヤツです。