アリコット数列の試算

　日本語で「アリコット数列」とググっても何にも出ないので、勇を鼓して暇つぶし計算の結果を書き込みます。アリコット数列とは自然数ｎが与えられ、その約数の和σ(n)を逐次的に計算した数列です。

　１２の約数は｛１，２，３，４，６｝、それ故総和は「１６」となり、１６は｛１，２，４，８｝で「１５」となり、その約数｛１，３，５｝の和である「９」、ついで「４」、「３」「１」に落ち着く。
　これが収束するかどうかは未解決事件だ。

　計算数論の精力的な開拓者レーマーは「１３８」で異常事態に遭遇する。アリコット数列が下記のようになったのだ。

{138, 150, 222, 234, 312, 528, 960, 2088, 3762, 5598, 6570, 10746, 13254, 13830, 19434, 20886, 21606, 25098, 26742, 26754, 40446, 63234, 77406, 110754, 171486, 253458, 295740, 647748, 1077612, 1467588, 1956812, 2109796, 1889486, 953914, 668966, 353578, 176792, 254128, 308832, 502104, 753216, 1240176, 2422288, 2697920, 3727264, 3655076, 2760844, 2100740, 2310856, 2455544, 3212776, 3751064, 3282196, 2723020, 3035684, 2299240, 2988440, 5297320, 8325080, 11222920, 15359480, 19199440, 28875608, 25266172, 19406148, 26552604, 40541052, 54202884, 72270540, 147793668,228408732, 348957876, 508132204, 404465636, 303708376, 290504024, 312058216, 294959384, 290622016, 286081174, 151737434, 75868720, 108199856, 101437396, 76247552, 76099654, 42387146, 21679318, 12752594, 7278382, 3660794, 1855066,927536, 932464, 1013592, 1546008, 2425752, 5084088, 8436192, 13709064, 20563656, 33082104, 57142536, 99483384, 245978376, 487384824, 745600776, 1118401224, 1677601896, 2538372504, 4119772776, 8030724504, 14097017496, 21148436904, 40381357656, 60572036544,100039354704, 179931895322, 94685963278, 51399021218, 28358080762, 18046051430, 17396081338, 8698040672, 8426226964, 6319670230, 5422685354, 3217383766, 1739126474, 996366646, 636221402, 318217798, 195756362, 101900794, 54202694, 49799866, 24930374, 17971642, 11130830, 8904682, 4913018, 3126502, 1574810, 1473382, 736694, 541162, 312470, 249994, 127286, 69898, 34952, 34708, 26038, 13994, 7000, 11720, 14740, 19532, 16588, 18692, 14026, 7016, 6154, 3674, 2374, 1190, 1402, 704, 820, 944, 916, 694, 350, 394, 200, 265, 59, 1}

　「１」に戻ったのはいいが、１７７ステップの後なのだ。うぎゃーである。

　もっと驚くべき事態が「２７６」で生じることをレーマーは報告している。発散してしまうのである。
現在でもその収束性は示されていないのだ。

対数グラフで５０桁までの計算を示す。５００ステップあるが収束しない。

その具体的なアリコット数列を下に書き記す。

{276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, 5964, 10164, 19628, 19684, 22876, 26404, 30044, 33796, 38780, 54628, 54684, 111300, 263676, 465668, 465724, 465780, 1026060, 2325540, 5335260, 11738916, 23117724, 45956820, 121129260, 266485716, 558454764,
1092873236, 1470806764, 1471882804, 1642613196, 2737688884, 2740114636, 2791337780, 4946860492, 4946860548, 9344070652, 9344070708, 15573451404, 27078171764, 27284104204, 27410152084,27410152140, 76787720100, 220578719452, 254903331620, 361672366300,
603062136740, 921203207260, 1381419996068, 1395444575644, 1395478688996, 1395546402460, 2069258468900, 3065057872156, 3277068463844, 3429776547484, 3597527970596, 4028517592540,5641400009252, 5641400009308, 5641400009364, 9709348326636,
16331909651988, 31948891146732, 54770416120644, 100509779504316,208751080955844, 388416032284476, 749365894850244, 1414070378301756, 2556878765995204, 2556878765995260, 6726041614128900, 15626498692840700, 23762659088671300, 35168735451235260, 78257359358590020, 186897487211247036, 340813223900632644,592585414385033916, 1326583294186844484, 2594892903616159356,
4946738730471899844, 8244565422068579772, 13740942370114299844,13780400058385352252, 13780400058385352308, 14272557426581383244, 14272557426581383300, 21155073391000330684, 21374326697892540932, 22138822441861473292, 23780027782003162628, 27022045182026917372,
29800418252165873732, 30868734601205564812, 30868743536688997492, 31506186871079789708, 33685079263470335092, 37869561159553616108, 44810700265393440532, 52967010256293285740, 77368308005658962068, 77526798761623418732, 81730869595023949972, 81812211224085690348,
174495211883566827540, 383889841278567188460, 851420485964196743700,2133148752623068133100, 4920463122717210500628, 9659030418601945179372, 19140499834691254267668, 31900833057818757113004, 60928733769254068230996,101554467127566656249004,169306878754562576009556,282178131257604293349484, 346582424991772739637140,
552686316482422494409324, 553006807242922594628276, 553006807242922594628332, 745066162268420486024468,924149581555915804645612, 1030930414683877487950100,1548402743187147675019948, 1556743133307121749640532,
1577787502224052298513068, 1582572215193662075638612, 1589498132984443966586092, 1590495621615121371199252,
1590495621615121371199308, 3165825721641610359961524, 5439160993577216573757516, 9094335325223841693890484,
15157230558475091017656396, 25262054784543950755312308,42103870796501457502772556, 79735851023790348821279412,
150612163044937325551306284, 260967610736480493226889172, 518713399118189622339872908, 518714199745311696881477492,
654258740209060303157109388, 681126209842032340451699060, 1079698965278713079688711820, 1581613078886999490489590132,
1581679426659219906649167628, 1825045749999763720560245492,1825045749999763720560245548, 2108781705291818107025846420,
2953420227772346876861942380, 4551741764228887851349251476,4551741904859057806657240684, 5096060041334733042950971796,
5649489866492612968043193964, 5887010185316502016232774036,5995196449104393244473339244, 6364665513610978272564740756,
6907998578872301297323351996, 7165455981799192761913565252,7421365124006306789124764410, 9039664938664952483187163910,
9907082921997761939794888762, 4972741824053642047419709382,3002979522416636673862318138, 2017580654767303099974836102,
1244903628049157597879498458, 623066682461218158965052794, 405777360866142189963875206, 202889844548768693396236514,
101606031252269789802711286, 67143052421186726696047754, 43198943988504452720173366, 21599471994252226360086686,
10816978790096511444838834, 5485387348532354145013694, 2768981488884442533892738, 1398472195038618082352702,
699236131712763811114210, 559388905370211048891386, 283827414785478646363654, 141913707448505436752666,71400147472407854315494, 35700073736203927157750, 31130464297969824482026, 19009096338287301141014,14159837068316050850110, 12571997906954418820802, 6285998988669487378810, 5454943422324195356294,
2790456740340877466506, 1457701282267622557334, 897048352357745259034, 656196521385769303526, 396888491364473068234,
199746943137480976634, 99880335882120220666, 50234510777647892474,26945691124359625126, 14458663530144189218, 7340164972251152542,
3670124810930050034, 1835071441429279546, 942846375846699854, 471423474026782474, 236811480731962646, 118405740365981326,
82353931824546674, 42925688895782926, 22463722849940594, 11314246716597226, 5661691263371894, 2878004590437226,
1693343540584670, 1589275287904162, 871538061108830, 702242488860754, 351121244430380, 391877606083540, 438317541267260, 482149295394028,
361612130023764, 597027851665164, 921384496381612, 696795495203860, 879034317026996, 884694649408216, 775090807921784, 712021130450056,
854975179811384, 748351916766616, 654814092390584, 748358962732216, 782375279220224, 780847202504020, 934016369235116, 710873234904148,
564356396042732, 433081612271428, 335193302648952, 727888957344648, 1595369225340792, 3279391982617608, 7155037053016632,
13828485073654368, 28896026886410112, 71055926805172608, 149143429700486832, 265875276034820688, 427249219672520112,
834184766415602768, 782048234963357392, 738011867377903088, 691886125666784176, 648644406422496624, 1479184104126684816,
3257516661242396784, 7234225312629230736, 11628977650089370032, 27264500678369725008, 53440893025646196144, 85012628422026731856,
134603328334875658896, 244734548975059612272, 402199413819477817872, 785246474599932883504, 736168570522608159816, 1271563896960403853304,
1907345850701654883336, 3141834504720954194424, 4925037872265279550296, 7598000146307685006504, 11397000229145247084216, 18595105637026455770184, 39608058247463700252216, 83340715627030675289544,
142373725915063060070676, 226909695056243891711724, 374170325681435313561876, 572239603038778510710348, 959342899661463488649732, 1465662763994860702381948,1212340187849780753237252, 909543707438192496288148,
685638601278146427461972, 566397796352409662167084, 425199901469616526376916, 761967914599398276616684,
571499425720904406540180, 1034353382886867475602924, 1654416691311454186253076, 2671787875048957622629824,
4511184470104206208749696, 8951011469809387550864304, 14969795044336389524725056, 30196746655589376384154944,
49700959076369542014153024, 104817590582640725588995776, 172512366335132559591739200, 394113402743977579492036800,
1063007045504742723616745280, 2975511329076319886749897920, 6471737140740995753681031024, 11800507429706023344513135120,
34438785213499859605859831280, 90294112113692329217512752720, 237136573992791367504754158000, 652212689874704224813893110064,
1105925865668886660163147320528, 1751049287314879524176082400240, 2469543050222749223043629599760, 4235551663126064639154310577056,
5457681078123561729316230653024, 8002849657825415035776203652064, 10423962257526429471157166195936, 13060294238569659693163927247488,
19383029403957774934828637101952, 19392775272312294548458720388848, 18182691232912974260450572953872, 18261066174780647877039019368328,
15999739374045520977517697143352, 15471669549605462954487341810248, 13576907531543687904575889181112, 12471812391678424516517782015048,
11566250591014108916558150355752, 10396109974652769570550941068248, 9487427258239616870074902771752, 9429095567735647013731369822168,
9623813878464401130732886177832, 8608720171974109067641126553368, 7545158838852255554009649732632, 7915991849108448061620793904008,
8912329950193886344339404495992, 7798288751749519123485471898048, 7905513111974848048054406510144, 10023061268033391764600250438016,
10004007785467119089231713327064, 8805757714570531751049355672936, 7705040025340209951290033331164, 5968692977380453481337597593764,
4476519761790946952433965793420, 8717443337530638204606555622260, 15736309456141005900810020131980, 28325360378461299573344258779764,
44176178687617239073484877346188, 58901572204955169200563419769812, 78538907176403419792802188965612, 105557686994902197139106741645588,
79492915985734425477636058016812, 59747302354264602158621201811188, 54215015619863233375942350044812, 57098407801654031938736503587188,
51148987877342904774823897393720, 63936234846678843796161451079480, 88392893844689315457638588825800, 117884574993628406067088563879800,
156197127514467586346039508640600, 206965065209123699561054434931600, 377375738004168130461409517988976, 442972469541305841310734770737904,
416174238447028290414480392186560, 574841234520344621546614620247376, 538917570945987047208886080796336, 505894866845590265067398471733584,
549674230322612499544384877941732, 439660084777839083114078492595068, 377670549955958777362523667508012, 293124387099568289439105934578356,
278104225418747358925004843079244, 292220395249671046256890199473076, 298471098891375239759711380211980, 328318208780512763735682518233220,
372263633608772298866361510656380, 409490016080684909499700147220900, 485847382038842478851713410323356, 368952262767800954725849522395236,
276714197076142418010596039100424, 270640003313841115316940716099576, 242511688362685260721480465847224, 213679575440397248358775931752856,
195125883183890782335697284247144, 170754329137386482349636761090456, 178519817512086260705501555363944, 156213250436341534594243278050456,
154431773596012621869006006191944, 161503724196510814072744554282296, 141603883774581080083762232909344, 159147206223346466392696704944504,
166381170142589487592364736987616, 166551642652986936295089216980192, 165895515315097460916365008018720, 226060960476202992008386048185056,
218996555461321648508123984179336, 191621986029532141677143676198404, 150526225487954215393500690023932, 112904808098091211750157603693724,
156145006384804581035402373599076, 208194969472029781402143164461212, 284530321967641785121348336610148, 379373763269583124321897073459580,
682872822021084482903201920002180, 1403240305232890723896431162019708, 1872340856464968267200299503393924,2625645973139359069146145598530428, 4681284604255362214345775342641284, 6241816440348181387211012088569532,
8353608726376045753762061146385604, 11138145402845740007492278509895036, 8353934252217219771199012732112324, 6479734161862143758759263313952316,
5923761042521111265490004944085444, 5273259324139552364999023984206268, 4129061546260215531084141421595852, 3096803119653092147099323897165108,
2323092916932128045163783434231692, 1742659292795130719703514764046764, 2880416178453133783963277740853076, 4022939143692603638335709693229228,
5438692477125399408094889108948820, 10039294356875335702709878007185836, 14015317023156297667072934172765780, 30869581325614596052020358760354220,
66348688428056499786499440876900948, 107100047962427456048833497403019424, 175450329827896534770472636269646176, 285127651150278792138937998439436064,
463332433119722373138095969344709376, 828170786200402832407335215141461248, 1377472717466995092585393415536298752,
2288613531750813624795170248628001648, 5256663777628960380292144667749598352, 10099783741244054946047264757449788848, 18165589589256126711959262573078777152,
19784264106641771854582109877425353408, 19550248025038630643866585628632540992, 32177643377036771634466588478591467008, 53553722086676707280670170410777961088,
94521933282749216747068064010099741312, 169766367014411422183878825491823897888, 316383220072663449735469236807856917216, 553591133220529471987208391166495159584,
899810864296186535191195654171235763936, 1600508190741674485256012823271565900064, 2824770933823698030125911051899753129696, 5150341472036924385343989055942883875104, 9177893710205605197787397114271294449376, 14914529447230150932725050929812598146352,
23614903523046295342903586470843473152784, 42474028852281502456239375825875097897072, 67487531804885007862433623072502765398672, 64071751820895429243629467303495723596768, 118132292419775947667941830340820240382360, 280381891624452182524568051055746257630920,
662478843718760716285347698985374332762680, 1564855027810921528263502931782796568874920, 4216611013965803873775110076094783543980120, 11327678427397701485014114448280258508115880,
26745909011311353156467795653812047038524120, 64022077113537790390245298282564891251365160, 149384846598254844243905695992651412919855640, 336115904846073455793704425904822855578953480,
820519100709449138324436591787990195815469560, 1846167976596260561229982331522977940584807680, 4551005576601470940865038606433603363748331264, 9037833426701063604350405695244514332965115136,
15740318527451169476265251374235165729138765184, 27521861788560661125082997952791016167721234816, 46073720804593018247586785520765977633001065184, 75822107465829296039350785099646592763588486432,
123210924631976289215407039117138647272082474528,204007622910278115168545303003688709275018295776, 331512598905640458797399483895396658238919400224,577264902255728159679617566558756572836550649056,
1075811885380689750230719066003112695371304606752,1748355453855484768971040443233734183130359611168, 3513598597809441780792191694348924238919902187808,6515801964749508166828117395006179296568381460192,
12086242779620736336490076936907494880769778104608,22080635848790344729745730593535621428923309696992, 35925516499950522507764044351950563364470964066336, 68893853306173297621469928518881877592349868679648,
111953269160850453359599437882515033017844320410912}

　途中のボールド数字はレーマーが計算を放棄した４５桁目である。自分も彼の計算を再現できたわけだ。
計算機、嘘つかない

数(すう)の事典