無限積の一事例を視る

　次のような積を考えよう。ｎは自然数である。

　kの1/k乗はkが大きくなれば１に近づくので、ｎ→無限大で収束するかと思うとさにあらず。
　ｎ＝１００　で　　　38329.54101
　ｎ＝１０００で　　2.145404488*10^10
　ん＝１００００で　2.4505141866223725326*10^18

　発散するようであります。ここで「ん」は冗談のつもり。
実際にこんな幾何級数的な増大傾向であります。

　収束する次の変異形を考えてみよう。

　上記の無限積の相乗平均である。グラフ的にはこうなる。

　案に違わずｎ無限大の極限値は「１」となる。それはそうなのだが、上記グラフのピークが気になる人も居よう。

　ｎ＝６の時に極大となる。その時の値はこうなる。

　約1.323100139である。

　ブルバキ派の手すさびとも言えるこの数の本は愉しいおもちゃ箱であった。

何だ この数(すう)は?