外接円と三角形と３個の円

　ここでの問題はこうだ。
円とその周上の３点z1,z2,z3が与えられる。三点を頂点にする三角形と外接円とみなせるが、ここではスルーしておこう。

　その時、
z1,z2,z3でそれぞれ円に内接して、円内で互いに接する円を３個求めよ。

　複素平面で再び問題を定式化しておこう。円の半径はRとし、原点に中心をおくと三点はこうなる。
　

　θはそれぞれの偏角である。また、後でR=1とする。
三円の半径をそれぞれr1,r2,r3としよう。
　これで方程式が立てられる。

　その解はこうなる。

　まとめて表示してみよう。確かに、３円が内接かつ互いに接している。

　z1,z2,z3を三角形とするとRの円は外接円であった。つまり、三角形にはo1,o2,o3の互いに接する３個の円が一意的に付随していることを意味するわけですな。

　この三円の中心を結ぶと小さな三角形ができる。これで「三角形の一心の追加」の状況が出現する。

　問題はかなり単純であるが、解を出すのがけっこう大変だ。複素数で定式化したから方程式に落とせてシンプルな連立二次方程式の問題になったが、これを初等幾何的に求めるのは自分には出来ないなあ。

　古本屋で偶然見つけた本書はもっと系統的かつ古典的なアプローチで範を垂れる

なぜ初等幾何は美しいか―三角形幾何学