簡単だけど意外

　円の内接円の件でのレポート。
円を下記のように内接させよう。

これは円Ａと円Ｂを直径上に互いに外接するようにおいて、その両側に三円に接するように小円を２個配置したのだ。外部の外接円を単位円としておこう。

　ここで問題だ。
　この４円の面積の和であるが、その最小面積はどのようなときに最小となるか？
ａを径数としよう。外接円の中心を原点として、円Ａと円Ｂが接する直線がｙ軸と交わる座標だ。

　対称性の観点から多くの人はａ＝０で最小になると答えるであろう。しかれども、意外にも最小面積となるのは、a＝０ではないのだ。
　ａを横軸にして、４円の面積の和をグラフにしたのがこれ。

　最小値の雰囲気はこのａのグラフから見て取れるだろう。微妙にプラマイ0.29のあたりで凹むのだ。
　そのａの値の厳密値はこうだ。なぜ、そうなるかは４円の面積の和の式を見ればうなずけるだろう。読者よ、欺かるるなかれ。

内接円の変化の動画

４円の和が最小となるときの状況図。

　ここで問題。
　４円の中心を結んで出来る四角形の面積の最小値も同じａであろうか？

「数学 100の勝利」〈Vol.2〉平面図形の問題 (シュプリンガー数学クラブ)