連分数の一つの関数の級数展開

　誰でも夢見たことのある連分数の関数についてチョイト調べてみたので報告したい。例により結論はないが、数学的好奇心はくすぐられる。

　規則性をもつｘを変数とする連分数だ。

　n乗を有限で切る。もちろん永遠にx^nが続くケースありうるが、収束性は保証されない。また、X=1のときには黄金比になる。

　n=20としてx=0近傍で級数展開してみよう。

　ｎを大きくとるとマクローリン級数は固まってくる。
実はn=10ではこうだったのだ。

　ｘの係数に着目してみよう。ｘとｘ^3が存在しないのに気がつく。係数の正負が交替している。

下はn=40までの係数のリストである。

{1, 0, 1, 0, 1, -1, 1, -2, 2, -3, 4, -6, 7, -11, 14, -19, 27, -36, 50, -68, 94, -127, 176, -240, 329, -452, 618, -848, 1162, -1593, 2183, -2994, 4102, -5624, 7710, -10567, 14487, -19859, 27222, -37317, 51156}

　このままｘとｘ^3の係数は出てこないのであろうと予想しておく。他の係数はすべて０以外ということも。

　なかなか面白い風合いの数列である。
例の「The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 」にも登録されていない。

　最後に、ｎ毎にｘ＝０近辺で関数の形状を示しておこう。

上の線はn=15、下の二本はn=10,20である。X=1で向かう先は黄金比であろう。

同じ関数がｘが負ではゴチャゴチャになることが下図でわかる。x=-1での乱脈さを注意しておく。

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　この本の連分数の章に裨益された。教育的にも良書。

数学の女王 ―歴史から見た数論入門―