自然対数の底 eは、下記でn無限大の収束値である。
0!+1/1!+1/2!+1/3!+.....+1/(n-1)!+1/n!
ここで少々、想像をめぐらしてみよう。
n!(0!+1/1!+1/2!+1/3!+.....+1/(n-1)!+1/n!)
とするとこれは自然数列を構成して、急速に大きくなる。
最初の十項である。
{1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101}
Cn=n!(0!+1/1!+1/2!+1/3!+.....+1/(n-1)!+1/n!)として
逆数の和を定義する。
Σ1/Ｃn
この和は下記の値に近づくようである。何に還元できるのだか分からない！
きっとｅと関連するのだろうけど。
1.78154632815834948971287994327
おまけ
もう一つの極限探求は二項係数nＣrについての和である。逆数の和の極限だ。
こちらは「２」になる。項別展開しておいて、初項と末項がそれぞれ１だ。
Σ1/nＣr→２
だから簡単な証明だなあ。きっと京大の入試問題にでてるに違いない！
対比できるのはΣnＣr=2^n
