自然数列の虚数乗和の行く末

　自分でも意外であったけど、自然数の虚数乗の和については、その極限や振る舞いを計算したものを知らない。なもので、とりあえず、計算してみた。

あるいは

これなどだ。

　要するに、n項までの和を数列と見立てて複素数列として並べるのであります。

最初の自然数の虚数乗はn=3ではこうなる。三角関数の中味に対数が登場するので計算は厄介になる。

　これでは誰も好き好んで数値計算をしないだろう。それに理論値も出せそうではない。
　漸近的な振る舞いを見るために、n=2から100までのガウス平面での連結を示そう。原点あたりから開始して、螺旋を描くことがわかる。

虚数のマイナス二乗の場合

交代級数になると容貌が変容するのだ。ループ状になってくる。普通の自然数の逆数和に似ている。
すなわち

m=2のはじめの200項を順次、結合した図。

線で結ばないとこんな点列。楕円状だ。
つまりは、極限値はなさげということ。

ついで、m=1のはじめの200項を順次、結合した図。

m=-1のはじめの500項を順次、結合した図。
円になっているのがわかる。

この中心点の存在（一点かどうかは不明瞭だが）と座標が気になるのだ。

複素幾何