代数学の基本定理のために

　ガウスが始めて厳密な証明を与えたとされる「代数学の基本定理」とは「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」と表現される。
　次数が整数ｎであれば、重根の重複度を考慮してｎ根を持つというようになるだろう。
　では整数でなければどうなるだろうか？
　基本定理では根を持つとしか保証していない。根の数は規定しない。
こんな方程式を考えてみよう。

　　　

　解の数は無数にあることが示せる。

ここでｋは自然数を動く。

　最初の２０個をガウス平面で示しておく（ついでに線分で連結する）

　続けて、１００個ほど計算すると、大方の予想通り半径＝１の円周を埋め尽くすことになるだろう。

　有理数の次数の方程式で同様な例を計算しておく。
このような有理数次数＝8/3の方程式であります。

その解をガウス平面で12個ほど計算すると八星形になる。

　ところで、内側に出現した円の半径は誰か推定できるであろうか？

【追記】
解の導出はこんな簡便法です。
ｋを整数とすると。

上記を考慮してこうなるのだろう。

従って解はこうなります。

代数学の基本定理

ガウスの遺産と継承者たち